Задача 110005

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Садыков Р., Черепанов Е.

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Решение

Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x₁, ..., x₁₀ и S. Тогда     Следовательно,     Пусть  n_k = 3k  (k = 1, ..., 10).  Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа    удовлетворяют требованиям задачи.

Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	99.4.10.5