|
|
 |
Условие
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.
Решение
Положим c = 2000(2d + 2). Тогда из равенства c = 2000((d + 1) + (d + 1)), следует,
что числа d + 1 и c одного цвета.
С другой стороны, c = 2000(d + (d + 2)), значит, числа d, d + 2 и d + 1
– одного цвета, или трёх разных цветов.
Поэтому любые три последовательных числа либо одного цвета, либо трёх разных. Если числа 1, 2, 3 – одного цвета, то рассматривая последовательно тройки 2, 3, 4; 3, 4, 5 и т.д., получаем, что все числа – одного цвета. Если 1 – цвета A, 2 – цвета B, 3 – цвета C, то из тройки 2, 3, 4 получаем, что 4 – цвета A; из тройки 3, 4, 5: что 5 – цвета B, и т.д.
Пусть a = 3k1 + r1, b = 3k2 + r2, c = 3k3 + r3 (r1, r2, r3 – остатки чисел a, b, c при делении на 3).
Равенство 2000(a + b) = 2000(3k1 + r1 + 3k2 + r2) = 3M – (r1 + r2) = c = 3k3 + r3 возможно только в случае, когда r1 + r2 + r3 делится на 3, то есть либо когда остатки r1, r2, r3 равны, либо когда они попарно различны.
Отсюда вытекает, что найденные раскраски удовлетворяют условию.
Ответ
Две раскраски:
все числа одного цвета;
числа 3k – 2, k ∈ N – цвета A, числа 3k – 1 – цвета B, числа 3k – цвета C.
