|
|
 |
Условие
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Решение
Докажем, что числа на окружности не превосходят 2001.
Лемма 1. Пусть x и y – натуральные числа. Если xy = x + y, то x = y = 2, а если
xy < x + y, то хотя бы одно из чисел x, y равно 1.
Доказательство. Достаточно переписать неравенство xy ≤ x + y в виде (x – 1)(y – 1) ≤ 1.
Лемма 2. Если xy = c, где x > 0, y > 0, x ≤ y, то сумма x + y убывает при возрастании x.
Доказательство. Это следует из убывания функции где
c > 0, на интервале
Поделим сумму чисел каждой пары на произведение чисел следующей (по часовой стрелке) пары и перемножим полученные частные. По условию мы получим целое число. С другой стороны, это произведение есть произведение чисел вида a+b/ab. Отсюда и из леммы 1 следует, что если хотя бы одна пара отлична от (2, 2), то найдётся пара вида (1, k). Начнём с этой пары и будем перемещаться по окружности по часовой стрелке.
Первый случай. Последующие пары имеют вид (1, k + 1), (1, k + 2), ..., (1, k + 999). Значит, k + 1000 кратно k, откуда 1000 кратно k. Но тогда k ≤ 1000 и k + 999 ≤ 1999.
Второй случай. Найдётся такая пара вида (1, l), что следующая пара (a, b) отлична от (1, l + 1). По условию ab – делитель числа s1 = 1 + l. Если
ab = l + 1, то по лемме 2 s2 = a + b ≤ 2 + ½ (l + 1). (*)
Если же ab ≤ ½ (l + 1), то по лемме 2 a + b ≤ 1 + ½ (l + 1).
Следовательно, и в этом случае справедливо (*).
Для следующей пары c, d лемма 2 даёт s3 = c + d ≤ cd + 1 ≤ 3 + ½ (l + 1), и т.д. Для суммы s1000 чисел пары, предшествующей (1, l), получаем
s1000 ≤ 1000 + ½ (l + 1).
С другой стороны, s1000 кратно l, значит, s1000 ≥ l. Последние два неравенства дают l ≤ 2001. Тогда из приведённых выше оценок следует, что для любой пары, отличной от (1, l), выполняется неравенство s ≤ 2001. Значит, каждое число в этих парах не превосходит 2000.
Таким образом, оценка 2001 доказана. Из рассуждений легко получить пример: (1, 2001), (2, 1001), (1, 1003), (1, 1004), (1, 1005), ..., (1, 2000).
Ответ
2001.
