ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110093
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Деление с остатком ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a1, a2, ..., an с разностью 2, обладающей свойством:    – простое при всех  k = 1, 2, ..., n?


Решение

Если  a = 5m ± 2,  то  a² + 1  делится на 5. Это число будет простым только при  a = 2.  Среди чисел b,  b + 2,  b + 4,  ...  не более двух подряд идущих чисел, не имеющих вид  5m ± 2.  Значит, если в прогрессии не содержится число 2, то  n ≤ 2.  Если  a1 = 2,  то  n ≤ 3,  так как  a4 = 8 = 5·2 – 2.  Числа  a1 = 2,
a2 = 4,  a3 = 6  дают искомую тройку: 5, 17, 37 – простые числа.


Ответ

n = 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.4.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .