ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110103
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?


Решение

Пусть нам удалось расставить числа требуемым образом. Возьмём число 7. По условию 7-е, 14-е, 21-е, 28-е, 35-е, 42-е, 49-е, 56-е от него по часовой стрелке числа кратны 7. Мы насчитали уже 9 различных чисел, кратных 7. Но среди чисел от 1 до 60 их всего восемь  (7·1, ..., 7·8).  Противоречие.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 02.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .