ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110107
Темы:    [ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).


Решение


Предположим противное: ни у какой клетки нет ровно двух одноцветных соседей по углу. Рассмотрим четыре нижних ряда и посмотрим на клетку №1 (см. рис.) – у неё два соседа, следовательно, они разного цвета. Рассмотрим клетку №2, у неё четыре соседа, два из них разного цвета, следовательно, два других – одного цвета. Рассмотрим клетку №3. Она имеет двух одноцветных соседей, поэтому два других её соседа – разного цвета (если все соседи клетки №3 одинакового цвета, то у клетки №6 – два одноцветных соседа). Продолжая рассуждать таким образом, получим, что оба соседа клетки №5 – одного цвета. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 02.4.8.2
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 02.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .