Задача 110124

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

Решение

  Обозначим через M, M' точки касания сфер σ, σ' с плоскостью ABD, а через N, N' – точки касания сфер σ, σ' с плоскостью ACD соответственно (см. рис.). Пусть D' – некоторая точка на продолжении отрезка AD за точку A.

  Из равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки к сфере, получаем:  DM = DN,  D'M' = D'N',  BM = BT,  CN = CT,  BM' = BT',  CN' = CT',
AM = AN = AT,  AM' = AN' = AT'.
  Отсюда следуют равенства треугольников (по трём сторонам): DMA и DNA, D'M'A и D'N'A, ABM и ABT, ABM' и ABT', ACN и ACT, ACN' и ACT'.
  Из выписанных равенств
∠BAT + ∠BAT' = ∠BAM + ∠BAM' = ∠MAM' = 180° – ∠DAM – ∠D'AM' = 180° – ∠DAN – ∠D'AN' = ∠NAN' = ∠CAN + ∠CAN' = ∠CAT + ∠CAT'.
  Итак,  ∠BAT – ∠CAT = ∠CAT' – ∠BAT',  откуда ∠BAT = ∠CAT',  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	03.4.11.7