Задача 110125

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

Решение

α=+ .
Первое решение. Из совпадения наборов следует, что

sin x+ sin2x+ sin3x= cos x+ cos2x+ cos3x, т.е.cr sin 2x(1+2 cos x)= cos2x(1+2 cos x).

1. 1+2 cos x=0 cos x=- x=+2π n sin3x=0 , но 0 не принадлежит { cos x, cos2x, cos3x} .
2. sin2x= cos2x tg2x=1 , x=+ . Наборы совпадают, так как 3x+x=+2π n cos3x= sin x , sin 3x= cos x .

Второе решение. Сложим 3 единичных вектора, образующих с осью Ox углы α , 2α , 3α соответственно. По условию у получившегося вектора равны координаты по x и по y , так как это суммы одних и тех же трех чисел. Значит, этот вектор, если он не равен нулю, направлен вдоль прямой, образующей угол π/4 с осью Ox . Но направление суммы трех векторов совпадает с направлением вектора, образующего угол 2α , поскольку два других симметричны относительно него.
Итак, 2α=+π k , откуда α=+ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что все углы указанного вида подходят.

Осталось рассмотреть случай, когда сумма трех единичных векторов равна нулю. Нетрудно видеть, что это возможно лишь если углы между ними равны , откуда α=+π k или α=+π k . Легко видеть, что тогда sin3α=0 , cosα0 , cos2α0 и cos3α0 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	03.4.10.1