Задача 110153

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Сумма положительных чисел a, b, c равна ^π/₂. Докажите, что  cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.

Решение

По условию  a + b < ^π/₂,  поэтому  cos a > cos(^π/₂ – b) = sin b,  так как  cos x  убывает на отрезке  [0, ^π/₂].  Аналогично  cos b > sin c  и  cos c > sin a.  Сложив эти три неравенства, получаем требуемое.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.4.10.1
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.1