Задача 110154

Темы:    [ Системы точек ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Метод координат на плоскости ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

Решение

Пусть A₁ , A₂ , A_N – отмеченные точки, и каждое из расстояний A_iA_j (1 i < j N) равно одному из n фиксированных чисел r₁ , r₂ , , r_n . Это означает, что для каждого i (1 i N) все отмеченные точки, кроме A_i , лежат на одной из n окружностей O(A_i, r₁), O(A_i, r₂), .. , O(A_i, r_n) (через O(X,r) мы обозначаем окружность радиуса r с центром в точке X ).

Введем на плоскости систему координат так, что оси координат не параллельны прямым A_iA_j (1 i < j N) . Рассмотрим отмеченную точку с наименьшей абсциссой, пусть это точка A₁ . Среди прямых A₁A₂, A₁A₃, .. , A₁A_N найдем прямую (или одну из прямых) с наибольшим угловым коэффициентом, пусть это прямая A₁A₂ . Точки A₃, A₄, .. , A_N лежат в одной полуплоскости α относительно прямой A₁A₂ .

По условию каждая из точек A₃, A₄, .. , A_N является точкой пересечения окружностей O(A₁, r_k) и O(A₂,r_l) для некоторых k,l {1,2,.. , n} . Каждая из n² пар таких окружностей имеет не более одной точки пересечения, принадлежащей полуплоскости α .

Следовательно, среди N-2 точек A₃, A₄, .. , A_N имеется не более n² различных. Отсюда N-2 n² , и N n²+2 (n+1)² .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.4.10.4