Задача 110167

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.

Решение

  Пусть A₁, B₁, C₁ – середины сторон BC, CA, AB треугольника ABC, B₂ и B₃ – проекции точки B₁ на стороны BA и BC(см. рис.), AA', BB' и CC' – высоты треугольника ABC.

  Тогда B₁B₂ – средняя линия треугольника ACC', то есть  B₁B₂ = ½ CC'.  Аналогично,  B₁B₃ = ½ AA'  и, значит,  BB₁ = ½ (AA' + CC').
  Аналогично   CC₁ = ½ (AA' + BB'),  AA₁ = ½ (BB' + CC'),  откуда  AA₁ + BB₁ + CC₁ = AA' + BB' + CC'.  Но AA₁ – наклонная, AA' – перпендикуляр, то есть
AA₁ ≥ AA', причём равенство выполняется только если A₁ совпадает с A'.
  Если хотя бы одно из трёх подобных неравенств строгое, то   AA₁ + BB₁ + CC₁ > AA' + BB' + CC',  что неверно.
  Значит, A₁ совпадает с A', то есть медиана является высотой, поэтому  BA = CA.  Аналогично  AB = BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	04.4.8.3