Задача 110199

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Пусть A₀, B₀ – середины сторон BC и CA, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности.
  Как известно,  ∠CB₁A₁ = ∠B = ∠CA₀B₀,  следовательно, точки A₁, B₁, A₀, B₀ лежат на одной окружности Ω₁. Кроме того, точки A₁, B₁ лежат на окружности Ω₂ с диаметром CH, а точки A₀, B₀ – на окружности Ω₃ с диаметром CO.

  Точка C' лежит на радикальных осях окружностей Ω₁ и Ω₂, а также Ω₁ и Ω₃, и, следовательно, является радикальным центром всех трёх окружностей.
Центры окружностей Ω₂ и Ω₃ – середины CH и CO соответственно.
  Прямая CC' как радикальная ось окружностей Ω₂ и Ω₃ перпендикулярна их линии центров, а значит, и HO .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	11
задача
Номер	05.4.11.4