|
|
 |
Условие
В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?
Решение
Предположим, что при некоторой расстановке чисел все клетки оказались правильными.
Пусть в клетку A записано число 4, тогда в одной из соседних с A клеток, например, в клетку B, записано число 4, а в одну из клеток C, D, E – число 1. Если 1 записана в клетке C, то в клетку F также записано 4, что невозможно: у клетки B две соседних
клетки с числом 4. Аналогично число 1 не может быть записано в клетку E. Значит, 1 – в клетке D. Аналогично 1 – в клетке
G, а тогда в клетках U и V – опять четверки. Итак, числа 4 порождают цепочки ...-1-4-4-1-4-4-... .
Из того, что в клетку K записано число 4, следует, что в
M записано 4, в N записано 1, и тогда однозначно восстанавливаются
числа в выделенных строках и столбцах (см. рис.).
Без ограничения общности, пусть 2 записано в F, а 3 – в H.
Рассматривая клетку H, получаем, что в клетку P записано число 2. Но в этом случае у клетки F с числом 2 в соседних клетках три различных числа. Противоречие.
Ответ
Не могут.
