Задача 110256

Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Расстояния от подряд идущих вершин параллелограмма до некоторой плоскости равны 1, 3 и 5. Найдите расстояние от четвёртой вершины до этой плоскости.

Решение

Пусть A1 , B1 , C1 , D1 , O1 – ортогональные проекции вершин соответственно A , B , C , D параллелограмма ABCD и его центра O на плоскость α , причём AA1 = 1 , BB1 = 3 , CC1 = 5 . Если точки A и C лежат по одну сторону от плоскости α , то OO1 – средняя линия прямоугольной трапеции AA1C1C , поэтому

OO1 = (AA1 + CC1) = (1 + 5) = 3.
Если при этом точка B лежит по ту же сторону от плоскости α , что и точки A и C (рис.1), то прямая BO параллельна плоскости α ( BB1 = OO1 = 3 ), поэтому точка D , лежащая на этой прямой, удалена от плоскости α на расстояние, также равное 3. Если точка D лежит по одну сторону от плоскости α , что и точки A и C , а точка B – по другую (рис.2), то отрезок OO1 соединяет середины диагоналей BD и B1D1 трапеции BD1DB1 с основаниями BB1 и DD1 . Поэтому
OO1 = (DD1 - BB1), или 3 = (DD1 - 3),
откуда находим, что DD1 = 9 . Пусть точки A и C лежат по разные стороны от плоскости α . Тогда отрезок OO1 соединяет середины диагоналей AC и A1C1 трапеции AA1CC1 с основаниями AA1 и CC1 . Поэтому
OO1 = (CC1 - AA1) = (5 - 1) = 2,
причём точка O лежит по одну сторону от плоскости α с точкой C . Если при этом точка B лежит по ту же сторону от плоскости α , что и точка A , а точка D – по другую (рис.3), то отрезок OO1 соединяет середины диагоналей BD и B1D1 трапеции BD1DB1 с основаниями BB1 и DD1 . Поэтому
OO1 = (DD1 - BB1), или 2 = (DD1 - 3),
откуда находим, что DD1 = 7 . Если же точки B и D лежат по ту же сторону от плоскости α , что и точка C (рис.4), отрезок OO1 есть средняя линия трапеции BB1D1D с основаниями BB1 и DD1 . Поэтому
OO1 = (DD1 + BB1), или 2 = (DD1 + 3 ),
откуда находим, что DD1 = 1 . Случай, когда точки A и D лежат по одну сторону от плоскости α , а точки B и C – по другую, невозможен.

Ответ

1; 3; 7; 9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8162