Задача 110312

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Сфера, вписанная в двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Два равных касающихся шара вписаны в двугранный угол, равный α . Первый шар касается первой грани двугранного угла в точке A , а второй шар касается второй грани в точке B . Какая часть отрезка AB находится вне шаров.

Решение

Обозначим через R радиусы шаров. Пусть первый шар с центром P касается второй грани данного двугранного угла в точке A1 , а второй шар с центром Q касается первой грани в точке B1 (рис.1). Пусть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые PA и PA1 пересекает ребро двугранного угла в точке E . Тогда AEA1 – линейный угол двугранного угла. По условию задачи AEA1 = α . Из равнобедренного треугольника APA1 (рис.2) находим, что

AA1 = 2AP sin APE = 2R sin () = 2R cos .
Аналогично, BB1 = 2R cos . Рассмотрим сечение шаров и двугранного угла плоскостью, проходящей через параллельные прямые AA1 и BB1 (рис.3). Получим прямоугольник AA1BB1 со сторонами AA1 = BB1 = 2R cos и AB1 = A1B = 2R и две окружности с диаметрами AA1 и BB1 . Пусть диагональ AB прямоугольника пересекает эти окружности в точках M и N ( N между M и B ). Тогда B1N – высота прямоугольного треугольника AB1B , проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
= = = = cos2 , = .
Значит,
= = = 1 - 2· = 1 - =

= = =

= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8434