Задача 110453

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной пирамиде SKLM с вершиной S проведена медиана MP в треугольнике SLM . Известно, что KL=1 и SK=3 . Через середину N ребра SM проведена прямая NE , параллельная KL . Через точку K проведена прямая, пересекающая прямые MP и NE в точках A и B соответственно. Найдите AB .

Решение

Прямая NE проходит через точку N и параллельна прямой KL . Значит, эта прямая лежит в плоскости KLN . Точка K и точка пересечения прямых MP и LN принадлежат одновременно плоскостям KNL и KPM . Значит, они пересекаются по прямой l , проходящей через эти две точки. Эта прямая пересекает прямую NE , лежащую в плоскости KNL , и прямую MP , а т.к. через данную точку можно провести не более одной прямой, пересекающей две данные скрещивающиеся прямые, не проходящие через эту точку, то прямая, о которой говорится в условии задачи, и есть прямая l . Тогда A – точка пересечения этой прямой с PM , а B – с прямой NE . Из равнобедренного треугольника KSL по формуле для медианы находим, что

KP = = = .
Аналогично, LN= . Из равнобедренного треугольника KNL находим, что
cos KLN = = = .
Поскольку A – точка пересечения медиан треугольника LSM ,
AL = LN = · = .
По теореме косинусов из треугольника AKL находим, что
AK = =

== .
Наконец, из подобия треугольников BAN и KAL находим, что
AB = · AL = AK = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8649