ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110498
УсловиеВ пирамиде ABCD длина отрезка BD равна , точка E – середина AB , а F – точка пересечения медиан грани BCD , причём EF=8 . Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках E и F соответственно. Найдите двугранный угол между гранями ABD и BCD , площадь грани BCD и объём пирамиды ABCD .РешениеПусть O – центр сферы (рис.1). Поскольку радиусы OE и OF проведены в точки касания сферы с плоскостями ABD и BCD , прямая OE перпендикулярна плоскости ABD , а прямая OF – плоскости BCD , значит, OE BD и OF BD , а также OE DE и OF DF . Пусть плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые OE и OF пересекает прямую BD в точке H . Поскольку прямая BD перпендикулярна пересекающимся прямым OE и OF этой плоскости, плоскость OEF перпендикулярна прямой BD , значит, EHF – линейный угол двугранного угла между гранями ABD и BCD . Положим EHF = 2α . Из равенства отрезков DE и DF (отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки) следует равенство прямоугольных треугольников EHD и FHD (по катету и гипотенузе), значит, EH=FH . Таким образом, в четырёхугольнике OEHF (рис.2) точки O и H равноудалены от концов диагонали EF , поэтому HO EF и диагональ OH проходит через середину K диагонали EF . ТогдаСледовательно, Из прямоугольного треугольника треугольника HKF находим, что Поскольку FH BD , отрезок FH – высота треугольника DBF , а т.к. F – точка пересечения медиан треугольника BCD , то Поскольку EH BD , отрезок EH – высота треугольника BED , а т.к. E – середина ребра AB и EH=FH= , то Вопользуемся формулой V=· , где V – объём тетраэдра, S1 и S2 – площади двух его граней, ϕ – угол между этими гранями, a –длина их общего ребра. В нашем случае Ответarccos = arcsin ; 25; .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|