ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110498
Темы:    [ Двугранный угол ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Сфера, вписанная в двугранный угол ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна , точка E – середина AB , а F – точка пересечения медиан грани BCD , причём EF=8 . Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках E и F соответственно. Найдите двугранный угол между гранями ABD и BCD , площадь грани BCD и объём пирамиды ABCD .

Решение

Пусть O – центр сферы (рис.1). Поскольку радиусы OE и OF проведены в точки касания сферы с плоскостями ABD и BCD , прямая OE перпендикулярна плоскости ABD , а прямая OF – плоскости BCD , значит, OE BD и OF BD , а также OE DE и OF DF . Пусть плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые OE и OF пересекает прямую BD в точке H . Поскольку прямая BD перпендикулярна пересекающимся прямым OE и OF этой плоскости, плоскость OEF перпендикулярна прямой BD , значит, EHF – линейный угол двугранного угла между гранями ABD и BCD . Положим EHF = 2α . Из равенства отрезков DE и DF (отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки) следует равенство прямоугольных треугольников EHD и FHD (по катету и гипотенузе), значит, EH=FH . Таким образом, в четырёхугольнике OEHF (рис.2) точки O и H равноудалены от концов диагонали EF , поэтому HO EF и диагональ OH проходит через середину K диагонали EF . Тогда

OEK = EHO = EHF = α, cos α = = .

Следовательно,
cos 2α = 2 cos2 α - 1 = 2· -1 = -1=.

Из прямоугольного треугольника треугольника HKF находим, что
FH = = = = = .

Поскольку FH BD , отрезок FH – высота треугольника DBF , а т.к. F – точка пересечения медиан треугольника BCD , то
SΔ BDC = 3SΔ BDF = 3· BD· FH = · · = 25.

Поскольку EH BD , отрезок EH – высота треугольника BED , а т.к. E – середина ребра AB и EH=FH= , то
SΔ ABD = 2SΔ BDE = 2· BD· EH = · = .

Вопользуемся формулой V=· , где V – объём тетраэдра, S1 и S2 – площади двух его граней, ϕ – угол между этими гранями, a –длина их общего ребра. В нашем случае
VABCD = · = · = .


Ответ

arccos = arcsin ; 25; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8695

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .