Условие
В основании призмы
ABCDA₁
B₁
C₁
D₁ лежит прямоугольник
ABCD. Острые углы
D₁
DA и
D₁
DC равны между собой, угол между
Найдите
BC и угол между плоскостями
D₁
DC и
ABC, а также расстояние от точки
D до центра сферы.
Решение
Поскольку в призму можно вписать сферу, все высоты призмы равны диаметру сферы как расстояния между противоположными гранями, а поскольку площадь грани призмы равна объёму призмы, делённому на высоту, то все грани призмы равновелики. В частности,
SADD₁A₁ =
SCDD₁C₁, или
AD ·
DD₁ sin ∠
D₁
DA =
CD ·
DD₁ sin ∠
D₁
DC,
Пусть
D₁
M и
D₁
N ─ высоты параллелограммов
DD₁
C₁
C и
DD₁
A₁
A, опущенные из вершины
D₁. Из равенства площадей граней
DD₁
C₁
C,
DD₁
A₁
A и
ABCD следует, что
Пусть
H ─ основание перпендикуляра, опущенного из вершины
D₁ на плоскость грани
ABCD. По теореме о трёх перпендикулярах
HM ⊥
DC и
HN ⊥
AD, поэтому
D₁
MH и
D₁
NH ─ линейные углы двугранных углов при рёбрах
DC и
AD параллелепипеда. Прямоугольные треугольники
D₁
MH и
D₁
NH равны по катету и гипотенузе, значит,
HM =
HN, т. е. точка
H равноудалена от сторон прямого угла
ADC, поэтому луч
DH ─ биссектриса этого угла. Обозначим
DD₁ =
x. Из прямоугольных треугольников
D₁
HD,
DMH,
D₁
MD и
D₁
HM находим, что
между плоскостями
D₁
DC и
ABC, то
Пусть
O ─ центр вписанной сферы радиуса
r,
P и
Q ─ точки касания с плоскостями граней
ABCD и
D₁
DAA₁. Прямая
AD перпендикулярна плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые
OP и
OQ, так как она перпендикулярна прямым
OP и
OQ, значит, если
L ─ точка пересечения этой плоскости с прямой
AD, то
PLQ ─ также двугранный угол между плоскостями граней
ABCD и
D₁
DAA₁, т. е. ∠
PLQ = φ.
Заметим, что точка
P равноудалена от сторон угла
DAC, поэтому она лежит на биссектрисе этого угла, т. е. на луче
DH. Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью
PLQ. Поскольку
O ─ центр окружности, вписанной в угол
PLQ, луч
LO ─ биссектриса угла
PLQ.
Из прямоугольных треугольников
DLP и
OPD находим, что
Источники и прецеденты использования
|
web-сайт |
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
задача |
Номер |
8731 |