|
|
 |
Условие
Восстановите прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) по вершинам A, C и точке на биссектрисе угла B .
Решение 1
При симметрии относительно биссектрисы угла B точка A переходит в лежащую на этой же прямой точку A', причём BA' = BA. Для любой лежащей на биссектрисе точки L имеем LA = LA', а поскольку BA > BC, точки A' и L лежат по разные стороны от прямой AC (см. рис.).
Проведём через C прямую l, перпендикулярную AC. Проведём окружность с центром L и радиусом LA и найдём точку A' ее пересечения с l, лежащую с L по разные стороны от AC. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку AA' и найдём точку B его пересечения с l.
Решение 2
Проведём прямую BC – перпендикуляр к AC. Построим окружность c центром в точке L, касающуюся BC. Так как BL – биссектриса, то эта окружность касается также и AB. Тогда точка B – это точка пересечения BC и луча из точки A, касающегося нашей окружности. При этом точка пересечения AL и BC лежит на отрезке BC (см. рис.).
Решение 3
Строим прямую BC. Пусть K – точка пересечения AL и BC. Тогда BL – биссектриса треугольника ABK, и точка B лежит на окружности Аполлония для отрезка AK и точки L внутри него. При этом опять надо из двух точек пересечения брать дальнюю от C.
Замечания
1. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда AL > CL и ∠ACL > 90°.
2. Если точке L разрешить лежать на продолжении биссектрисы (или хотя бы на луче биссектрисы, а не на отрезке!), то решений будет чаще всего два, соответствующих двум касательным из решения 2.
