Задача 110784

Темы:    [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Периметр треугольника ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Ященко И.В.

Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.

Решение

  Очевидно, вписать треугольник в полукруг можно двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на дуге, а третья на диаметре полукруга, либо, наоборот, две вершины на диаметре, а третья на дуге. Рассмотрим первый случай. Пусть вершины A, B лежат на дуге. Тогда серединный перпендикуляр к AB проходит через центр полукруга. Следовательно, третья вершина совпадает с центром и сторона треугольника равна радиусу полукруга (рис. слева).

           

  Во втором случае высота треугольника не превосходит радиуса полукруга, причём в случае, изображённом на рис. справа, равенство достигается. Следовательно, именно этот треугольник и будет искомым.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	8
задача
Номер	81