Задача 110786

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

Решение

  Рассмотрим случай, изображенный на рис. Имеем  AX = AD = BC  и  CY = CD = AB.  Кроме того,
∠BCY = ∠C – ∠DCY = ∠C – (π – 2∠CDY) = 2∠CDY – ∠D = ∠CDY – ∠ADX,  ∠BAX = ∠DAX – A = π – 2∠ADX – ∠A = ∠D – 2∠ADX = ∠CDY – ∠ADX.  Значит, треугольники ABX и CYB равны, откуда и следует искомое равенство.

  Другие случаи расположения точек X, Y рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	8
задача
Номер	83