Задача 111055

Темы:    [ Метод координат ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?

Решение

Поскольку прямые AC и BD не параллельны оси OY , их уравнения можно найти в виде y=ax+b . Подставив координаты точек A и C в это уравнение, получим систему

из которой находим, что a=- , b= . Аналогично получим уравнение прямой BC : y=x . Координаты точки M пересечения прямых AC и BD находим из системы

Рассмотрим векторы и . Поскольку координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала, то
= ( - 1; -2)= (; -), = (3 - ; -3-)= (; -).
Из полученных равенств следует, что =3 . Значит, точка M делит диагональ AC в отношении 3:1 , считая от точки A .

Ответ

1:3, считая от точки A .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4410