Задача 111110

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро AA1 также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы 60^o . Найдите диагональ BD1 .

Решение

Треугольник AA1B – равносторонний, т.к. AA1=AB и BAA1 = 60^o . Поэтому A1B = AA1=5 . Аналогично, A1D = 5 . Боковые рёбра A1A , A1B и A1D треугольной пирамиды A1ABD с вершиной A1 равны между собой, значит, высота A1O этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD , т.е. центр квадрата ABCD . Из прямоугольного треугольника OBA1 находим, что

A1O = = = .
Поскольку D1C = A1B = A1A = D1D , точка D1 равноудалена от вершин C и D , поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D , а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD . Поскольку D1K || A1O и D1K =A1O , четырёхугольник A1D1KO – прямоугольник, поэтому OK = A1D1 = 5 . Продолжим отрезок KO до пересечения со отрезком AB в точке M . Тогда M – середина AB и MK = MO+OK = . Из прямоугольных треугольников MKB и KBD1 находим, что
BK = = = ,

BD1 = = = = = 5.



= ++ BD12= (++)2=

=2+2+2+ 2· + 2· + 2· =

=25+25 +25 + 2· 25 cos 120^o + 2· 25 cos 90^o+ 2· 25 cos 60^o= 75

BD1= = 5.

Ответ

5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7929