Задача 111319

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Разрезания на параллелограммы ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Шноль Д.Э.

Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших.

Решение

Первое решение. См. рис.. Получить это решение можно так. Пусть квадратики одного вида имеют сторону a клеточек, другого --- b клеточек, а исходный квадрат --- c клеточек. Тогда площадь исходного квадрата равна c²=na²+nb² . Удовлетворяющие этому равенству числа можно получить, умножив равенство 5²=4²+3² на n=k² . Квадрат при n=4 разрезать не удается, при n=9 получим a=4 , b=3 , c=15 . Пример разрезания для данных чисел представлен на рисунке.

Второе решение. См. рис. Составим, например, из двух квадратов 2x2 и двух квадратов 1x1 прямоугольник 5x2 (как показано на рисунке). Из десяти таких прямоугольников можно составить квадрат 10x 10 . Разумеется, таким образом можно получить много других решений.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2008
класс
Класс	6
задача
Номер	4