Задача 111351
Условие
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чемРешение
а) Покажем, что в правильном октаэдре ABCDEF (рис.11-7-1) нельзя выбрать четыре вершины с указанным в пункте а) свойством. Без ограничения общности можно считать, что выбраны вершины A , B , C и F , поскольку октаэдр может быть так переведен некоторым движением сам в себя, что эта четверка его вершин перейдет в любую другую выбранную, не лежащую в одной плоскости, четверку вершин этого октаэдра. Пусть O "– центр квадрата BCDE . Тогда ортогональная проекция тетраэдра ABCF на плоскость BCD совпадает с треугольником OBC , а проекция октаэдра ABCDEF на ту же плоскость "– с квадратом BCDE . Отношение площадей этих проекций равно 1/4 .
б) В произвольном многограннике так выберем четыре его вершины A , B , C и D , что образованный ими тетраэдр обладает наибольшим возможным объемом (если таких четверок несколько, то выберем любую из них). Если у многогранника найдется такая его вершина F , которая лежит по другую сторону, чем вершины B , C и D , от плоскости α , содержащей вершину A и параллельной плоскости BCD , то объем тетраэдра FBCD окажется больше объема тетраэдра ABCD . Это противоречит выбору вершин A , B , C и D . Значит, весь многогранник не имеет общих точек с одним из двух полупространств, на которые делит пространство плоскость α . Аналогичные рассуждения с плоскостями β , γ и δ , содержащими вершины B , C и D соответственно и параллельными плоскостям ACD , ABD и ABC соответственно, доказывают, что многогранник целиком лежит в тетраэдре A'B'C'D' , ограниченном плоскостями α , β , γ и δ (рис.11-7-2).
Из курса стереометрии известно, что медианы тетраэдра ABCD (то есть четыре отрезка, каждый из которых соединяет одну из его вершин с точкой пересечения медиан противоположной этой вершине грани) пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 3:1 , считая от вершин. Рассмотрим гомотетию с центром в этой точке и коэффициентом -3 . При такой гомотетии точки пересечения медиан граней BCD , ACD , ABD и ABC тетраэдра ABCD перейдут соответственно в его вершины A , B , C и D , а плоскости этих граней "– соответственно в плоскости α , β , γ и δ . Следовательно, тетраэдр ABCD гомотетичен тетраэдру A'B'C'D' с коэффициентом -1/3 , а его вершины A , B , C и D являются точками пересечения медиан соответствующих граней B'C'D' , A'C'D' , A'B'D' и A'B'C' тетраэдра A'B'C'D' . Но тогда и проекция тетраэдра ABCD на произвольную плоскость π также будет гомотетична с коэффициентом -1/3 проекции тетраэдра A'B'C'D' на ту же плоскость. Следовательно, отношение площадей таких проекций будет равно 1/9 . Проекция же на π многогранника будет содержаться в проекции тетраэдра A'B'C'D' на эту плоскость и, следовательно, иметь площадь, не превосходящую девяти площадей проекции на π тетраэдра ABCD .
в) Продолжим рассуждения из доказательства предыдущего пункта. Проведем плоскости α' , β' , γ' и δ' , симметричные плоскостям α , β , γ и δ соответственно относительно плоскостей BCD , ACD , ABD и ABC соответственно. Аналогично рассуждениям из пункта б) доказывается, что многогранник целиком лежит по одну сторону от каждой из этих проведенных плоскостей, а значит "– и в многограннике Σ , ограниченном плоскостями α , β , γ , δ , α' , β' , γ' и δ' .
Так как точки A , B , C и D являются точками пересечения медиан соответствующих граней B'C'D' , A'C'D' , A'B'D' и A'B'C' тетраэдра A'B'C'D' , то плоскости BCD , ACD , ABD и ABC делят пересекающие их ребра этого тетраэдра в отношении 2:1 , считая от вершин A' , B' , C' и D' соответственно. Но тогда плоскости α' , β' , γ' и δ' делят эти ребра в отношении 1:2 , считая от вершин A' , B' , C' и D' соответственно. Таким образом, многогранник Σ получается из тетраэдра A'B'C'D' удалением четырех угловых тетраэдров, отсекаемых плоскостями α' , β' , γ' и δ' и равных тетраэдру ABCD (см. рис.11-7-3). Следовательно, поверхность многогранника Σ представляет собой четыре пары соответственно параллельных плоскостям BCD , ACD , ABD и ABC граней: треугольной, равной параллельной ей грани тетраэдра ABCD , и шестиугольной, которую можно составить из шести равных такой грани тетраэдра ABCD частей.
Рассмотрим проекции тетраэдра ABCD и многогранника Σ на произвольную плоскость π . Так как в каждую точку, лежащую внутри первой из этих проекций, проектируется ровно две различные точки поверхности тетраэдра ABCD , то площадь этой проекции равна половине суммы площадей проекций всех граней этого тетраэдра. Аналогично, площадь проекции многогранника Σ равна половине суммы площадей проекций всех граней этого многогранника. Группируя слагаемые в этой сумме по четырем указанным выше парам граней, заметим, что сумма площадей проекций граней в каждой из этих пар ровно в семь раз больше, чем площадь проекции соответствующей этой паре грани тетраэдра ABCD . А значит, и площадь проекции многогранника Σ ровно в семь раз больше, чем площадь проекции тетраэдра ABCD . Проекция же на π многогранника будет содержаться в проекции многогранника Σ на эту плоскость и, следовательно, иметь площадь, не превосходящую семи площадей проекции на π тетраэдра ABCD .
