Задача 111354

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Дана прямая и две точки A и B, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от неё.
Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку C, что произведение  AC·BC  будет наименьшим?

Решение

  Площадь треугольника ACB не зависит от C и равна  ½ AC·BC sin ∠ACB.  Поэтому наименьшему произведению  AC·BC  соответствует наибольший синус угла ACB.
  Построим окружность с диаметром AB. Если она пересекает нашу прямую l в двух точках P и Q, то эти точки – искомые (sin ∠APB = sin ∠AQB = 1).  В противном случае искомая точка C – пересечение l с серединным перпендикуляром к отрезку AB (из этой точки отрезок AB виден под наибольшим нетупым углом).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3