Задача 111472

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S₁ и S₂. Найдите площадь третьего.

Решение

Пусть S – площадь третьего многоугольника, R – радиус окружности, n – число сторон первого многоугольника,  α = ^π/_2n.  Тогда  S₁ = ½ nR² sin 4α,
S₂ = nR² sin 2α,  S = nR² sin α = ^S₂/_{cos α}.  Из первых двух равенств  ^S₁/_S2 = cos 2α  значит,    

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4578