Задача 111555

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция ABCD с основаниями  AD = 3  и  BC = 18.  Точка M расположена на диагонали AC, причём  AM : MC = 1 : 2.  Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям трапеции, пересекает диагональ BD в точке N. Найдите MN.

Решение

Пусть K – точка пересечения указанной прямой с боковой стороной AB. По теореме о пропорциональных отрезках  AK : KB = AM : MC = 1 : 2.  Аналогично  BN : ND = BK : AK = 2 : 1.  Из подобия треугольников AKM и ABC находим, что  MK = BC·^AM/_AC = ⅓ BC = 6,  а из подобия треугольников BKN и BAD –  NK = AD·^BN/_ND = ⅔ AD = 2.  Следовательно,  MN = MK – NK = 6 – 2 = 4.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4660