Задача 111580

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE извествно, что A = B = D= 90^o . Найдите угол ADB , если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть O – центр окружности, вписанной в данный пятиугольник, K , L , M , N и T – точки касания окружности со сторонами AB , BC , CD , DE и AE соответственно. Тогда отрезки OK , OL , OM , ON и OT перпендикулярны соответствующим сторонами пятиугольника. Поскольку углы KBL , KAT и MDN – прямые, четырёхугольники BLOK , AKOT и DMON – равные квадраты, а отрезки OB , OA и OD равны как диагонали этих квадратов, поэтому точка O равноудалена от вершин треугольника ADB , т.е. является центром его описанной окружности. Угол ADB вписан в эту окружность, поэтому он равен половине соответствующего ему центрального угла AOB , а т.к.

AOB = AOK+ BOK = 45^o+45^o = 90^o,
то
ADB = AOB = · 90^o=45^o.

Ответ

45^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4685