Условие
В треугольник
ABC с прямым углом
C вписана окружность,
касающаяся сторон
AC ,
BC и
AB в точках
M ,
K и
N
соответственно. Через точку
K провели прямую, перпендикулярную
отрезку
MN . Она пересекла катет
AC в точке
X . Докажите,
что
CK=AX .
Ответ
Центр
O окружности, вписанной в треугольник
ABC ,
лежит на биссектрисе угла
MAN , а т.к. биссектриса равнобедренного
треугольника является его высотой, то
AO 
MN , значит,
AO || XK .
Радиус
OK , проведённый в точку касания окружности с катетом
BC , перпендикулярен
BC , поэтому
OK || AX . Противоположные
стороны четырёхугольника
AXKO попарно параллельны, значит,
AXKO – параллелограмм. Следовательно,
AX=OK , а т.к.
OKCM –
квадрат, то
CK= OK = OX .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4688 |
