ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111589
УсловиеДве равные сферы S1 и S2 касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней P и Q двугранного угла величины 2α . Сфера S1 касается грани P в точке A , а сфера S2 касается грани Q в точке B . В каком отношении отрезок AB делится сферами?РешениеПусть O1 и O2 – центры сфер S1 и S2 соответственно (рис.1), R – радиусы сфер, H – точка касания сферы S1 с плоскостью Q , K – точка касания сферы S2 с плоскостью P , M и N – отличные от A и B точки переcечения сфер соответственно S1 и S2 с отрезком AB . Радиусы O1A и O1H сферы S1 перпендикулярны граням P и Q соответственно. Пусть плоскость пересекающихся прямых O1A и O1H пересекает ребро данного двугранного угла в точке C . Тогда ACH – линейный угол данного двугранного угла, значит, ACH = 2α . Аналогично, если плоскость O2BK пересекает ребро двугранного угла в точке D , то BDK = 2α . Плоскость AСH проходит через перпендикуляр O1H к плоскости Q , значит, эти плоскости перпендикулярны, поэтому перпендикуляр AF , опущенный из точки A на плоскость Q , лежит в плоскости ACH . Рассмотрим четырёхугольник ACHO1 (рис.2), в которомИз прямоугольных треугольников O1CH и AFC находим, что Тогда Заметим, что CHBD и O1O2BH – прямоугольники, поэтому HB=O1O2 = 2R . Из прямоугольных треугольников BHF и AFB находим, что Пусть G – проекция точки N на плоскость Q . Тогда точка G лежит на отрезке BF . Рассмотрим прямоугольную трапецию NO2BG , в которой O2N=O2B = R . Обозначим NBG = ABF = β . Если E – середина основания BN равнобедренного треугольника BO2N , то BO2E = NBG = β , поэтому значит, Следовательно, Ответ1: ctg2 α:1 .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|