Условие
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что AP = CQ и
четырёхугольник RPBQ – вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.
Решение
Заметим, что ∠ARP < ∠ARP + ∠CRQ = 180° – ∠PRQ = ∠PBQ = ∠ABC.
Предположим, что точка X лежит на продолжении отрезка PR за точку R. Тогда ∠ARP = 180° – ∠ARX > ∠RAX = ∠B, что невозможно. Следовательно, точка X лежит на луче RP.
Из теоремы об угле между касательной и хордой ∠XAP = ∠C. Кроме того, ∠APX = ∠BPR = ∠CQR, значит, треугольники APX и CQR равны по стороне и двум углам, поэтому PX = QR. Аналогично PR = QY. Следовательно, RX = PR + PX = QY + QR = RY.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4163 |
