Задача 111681

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Площади криволинейных фигур ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три "внешних" криволинейных треугольника и один "внутренний" (см. рис.1). Докажите, что если из суммы площадей "внешних" треугольников вычесть площадь "внутреннего", то получится удвоенная площадь треугольника ABC .

Решение

Рассматриваемые окружности проходят через основания высот треугольника ABC , поэтому точки их пересечения лежат на сторонах треугольника. Пусть x , y , z и u — площади рассматриваемых криволинейных треугольников; a , b , c , d , e и f — площади сегментов, отсекаемых от окружностей сторонами треугольника; p , q и r — площади частей треугольника ABC , лежащих вне внутреннего криволинейного треугольника (рис.2). Тогда

x+(a+b) = u+p+q+(c+f), y+(c+d) = u+q+r+(e+b), z+(e+f)= u+r+p+(a+d).
Складывая эти равенства, получаем, что
x+y+z = 2(p+q+r+u) + u,
откуда
(x+y+z)-u = 2(p+q+r+u) = 2S_{Δ ABC}.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4199