Задача 111697

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки K , L , M и N — середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD площади s . Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых AL , AM , CK и CN .

Решение

Пусть прямые AL и CK пересекаются в точке P , а прямые AM и CN — в точке Q . Тогда P и Q — точки пересечения медиан треугольников ABC и ADC соответственно. Поэтому

S_{Δ APC} = S_{Δ ABC} = · s = s, S_{Δ AQC} = S_{Δ ADC} = · s = s.
Следовательно,
S_APCQ = S_{Δ APC} + S_{Δ AQC} = s+ s = s.

Ответ

s .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2891