Задача 111719

Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Решение

Пусть O  — центр описанной окружности треугольника ABC, H  — его ортоцентр, и прямая OH параллельна биссектрисе угла C . Так как эта биссектриса пересекает описанную окружность в середине C' дуги AB , OC' AB , т.е. четырехугольник OC'CH  — параллелограмм и CH = OC' = R . С другой стороны, CH = 2R | cos C| , значит угол C равен 60^o или 120^o . Но в первом случае лучи CO и CH симметричны относительно биссектрисы угла C , так что прямая OH не может быть параллельна этой биссектрисе. Следовательно, C = 120^o .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	14