Задача 111771

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Для вещественных  x > y > 0  и натуральных  n > k  докажите неравенство  (x^k – y^k)ⁿ < (xⁿ – yⁿ)^k.

Решение

  Разделив на x^nk и обозначив  α = ^y/_x,  перепишем наше неравенство в виде  (1 – α^k)ⁿ < (1 – αⁿ)^k.
  Однако  0 < 1 – α^k < 1 – αⁿ < 1  (так как  0 < α < 1),  поэтому  (1 – α^k)ⁿ < (1 – αⁿ)ⁿ < (1 – αⁿ)^k.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	07.4.10.2