Задача 111832

Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Покрытия ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Шар и его части ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

Решение

Пусть дана пирамида ABCD . Выберем пару ее скрещивающихся ребер с наибольшей суммой квадратов– пусть это AB и CD . Покажем, что шары с диаметрами AB и CD покрывают каждое ребро пирамиды. Ясно, что достаточно доказать это для ребра BC . Рассмотрим основания A₁ и D₁ перпендикуляров, опущенных соответственно из A и D на BC . Тогда AB²+CD²=AA₁²+BA₁²+DD₁²+CD₁² AC²+BD²=AA₁²+CA₁²+DD₁²+BD₁² , откуда BA₁²+CD₁² CA₁²+BD₁² . Это означает, что отрезки BA₁ и CD₁ перекрываются, а значит, они покрывают весь отрезок BC . Но наши шары как раз покрывают оба этих отрезка.
Поскольку шары покрывают все ребра, то они покрывают и все грани. Пусть теперь какая-то точка X тетраэдра не покрыта шарами. Тогда из нее можно выпустить луч, не имеющий общих точек с шарами. Однако он пересечет поверхность в точке, принадлежащей одному из шаров– противоречие.

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	07.5.11.7