Задача 111835

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Тождественные преобразования ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Храбров А.

Дан многочлен  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Положим  m = min {a₀, a₀ + a₁, ..., a₀ + a₁ + ... + a_n}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxⁿ  при  x ≥ 1.

Решение

P(x) – mxⁿ = (a₀ – m)(xⁿ – x^n–1) + (a₀ + a₁ – m)(x^n–1 – x^n–2) + ... + (a₀ + ... + a_n–1 – m)(x – 1) + (a₀ + ... + a_n – m) ≥ 0,  так как при  x ≥ 1  каждое слагаемое по условию неотрицательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	07.5.10.2