|
|
 |
Условие
Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.
Решение
Отразим картинку относительно основания AС (см. рис.). Заметим. что треугольники ABM1 и B1BN1 равны (один получается из другого поворотом на 60° вокруг точки B).
Первый способ. Нам достаточно доказать, что SBPQ = SAPM1 + SCQN1.
Добавив к обеим частям SM1PQN1B1, сведём задачу к доказательству равенства SACB1 = SBM1B1N1. По доказанному
SBM1B1N1 = SM1BB1 + SB1BN1 = SM1BB1 + SABM1 = SABB1 = SACB1.
Второй способ. Из этого следует, что MB = M1B1 = N1C. Проведём отрезок MN1, пересекающий AC в точке O (см. рис.).
В силу симметрии отрезок NM1 пройдёт через ту же точку O. Так как отрезки MB и N1C параллельны и равны, то MBCN1 – параллелограмм, а BON1C – трапеция. Значит, SBOQ = SCN1Q = SCNQ (см. задачу 54961). Аналогично
SBOP = SAM1P = SAMP. Значит,
SPQB = SBOP + SBOQ = SAMP + SCNQ.
Замечания
1. Второй способ основан на работе участницы олимпиады Татьяны Неретиной.
2. 7 баллов.
