Задача 111918

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Перепечко А.Ю.

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

Решение

  Рассмотрим последовательность, где  a_2n–1 = n(n + 1),  a_2n = (n + 1)²:  2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25… Каждый чётный член – среднее арифметическое, а каждый нечётный – среднее геометрическое своих соседей.

  Осталось заметить, что, так как среднее арифметическое двух различных чисел не равно среднему геометрическому, то наша последовательность ни с какого места не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

Ответ

Не обязательно.

Замечания

1. 8-9 кл. – 5 баллов, 10-11 кл. – 4 балла.

2. Ср. с задачей 111914.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2