|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что AB·CD = BC·AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.
Решение
Будем считать, что точка K лежит на продолжении диагонали AС за точку A.
а) По теореме об угле между касательной и хордой ∠ABK = ∠BCK, поэтому треугольники ABK и BCK подобны по двум углам. Значит,
AB : BC = BK : CK, то есть AB·CK = BK·BC.
Аналогично AD·CK = DK·DC. Перемножая эти равенства «крест-накрест и учитывая, что DK = BK, получаем, что AB·CD = BC·AD.
б) ∠BPQ = ∠KBA = ∠BDA.
Значит, треугольники PBQ и DBA подобны. Отсюда PQ : BQ = AD : AB, то есть PQ = BQ·AD/AB.
Аналогично QR = BQ·CD/BC. Согласно а) AD : AB = CD : BC, поэтому PQ = QR.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2962 |
