Задача 115288

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема синусов ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через точку M , лежащую внутри окружности S , проведена хорда AB ; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B . Докажите, что величина + не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M .

Решение

Пусть радиус окружности равен R , точки P и Q лежат на касательных, проведённых к окружности в точках A и B соответственно. Обозначим PAB = QBA = j . Из прямоугольных треугольников APM и BQM находим, что PM=AM sin j , QM=BM sin j . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что из точек большей дуги AB окружности, отличных от A и B , хорда AB видна под углом j , поэтому AB = 2R sin j . Тогда

+= += =

== = .
Произведение AM· BM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2964