ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115299
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1 проходит через середину отрезка OH .

Решение



Центр O описанной окружности треугольника ABC — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Острый угол при вершине B прямоугольного треугольника BC1C равен 45o , поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный. Его высота, проведённая из вершины C1 , проходит через середину основания BC , а значит, является серединным перпендикуляром к стороне BC . Аналогично, высота прямоугольного треугольника AA1B является спрединным перпендикуляром к стороне AB и также проходит через точку O . Т.к. AA1 BC и OC1 BC , то AA1 || OC1 . Аналогично, CC1 || OA1 . Значит, четырёхугольник OA1HC1 — параллелограмм. Следовательно, его диагональ A1C1 проходит через середину диагонали OH .

Пусть прямая C1O пересекает сторону BC в точке A2 . Предположим, что уже доказано, что A2 — середина BC . Поскольку точки C1 , A1 и A2 лежат на окружности девяти точек, а угол C1A2A1 — прямой, то A1C1 — диаметр этой окружности. Известно, что центр окружности девяти точек — середина отрезка OH . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3405

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .