ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115299
УсловиеAA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1 проходит через середину отрезка OH .РешениеЦентр O описанной окружности треугольника ABC — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Острый угол при вершине B прямоугольного треугольника BC1C равен 45o , поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный. Его высота, проведённая из вершины C1 , проходит через середину основания BC , а значит, является серединным перпендикуляром к стороне BC . Аналогично, высота прямоугольного треугольника AA1B является спрединным перпендикуляром к стороне AB и также проходит через точку O . Т.к. AA1 BC и OC1 BC , то AA1 || OC1 . Аналогично, CC1 || OA1 . Значит, четырёхугольник OA1HC1 — параллелограмм. Следовательно, его диагональ A1C1 проходит через середину диагонали OH . Пусть прямая C1O пересекает сторону BC в точке A2 . Предположим, что уже доказано, что A2 — середина BC . Поскольку точки C1 , A1 и A2 лежат на окружности девяти точек, а угол C1A2A1 — прямой, то A1C1 — диаметр этой окружности. Известно, что центр окружности девяти точек — середина отрезка OH . Отсюда следует утверждение задачи. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|