ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115351
УсловиеЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой. РешениеОбозначим через E точку пересечения диагоналей AC и BD. Пусть для определенности точка K лежит на отрезке BE. Первый способ. Пусть прямая, проходящая через K
параллельно PM, пересекает AC в точке N (рис. слева). Треугольник NKE и PME подобны (так как их стороны параллельны), откуда PE : EM = NE : EK. Прямоугольные треугольники AKE и CME также подобны, поэтому EM : EC = EK : EA. Перемножая полученные равенства, получаем PE : EC = NE : EA. Но по теореме Фалеса PE : EC = KE : EB. Следовательно, Второй способ. Заметим, что ∠PAD = ∠CAD = ∠CBD = ∠PKD, то есть четырёхугольник AKPD вписан (рис. справа). Значит, Случай, когда K лежит на отрезке DE, рассматривается аналогично. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|