ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115352
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, cквадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)


Решение

  Если  b = 1,  то  a – c = 1,  и в качестве другой тройки можно выбрать  (1, 25, 49).
  Если же  b ≠ 1,  то из взаимной простоты разность прогрессии d не равна нулю. Пусть  d = b – a = c – b > 0.  По условию b взаимно просто с . Произведение взаимно простых чисел ac и b является квадратом, поэтому и каждое из них – квадрат, то есть  b = e²,  ac = m² = (b – d)(b + d) = b² – d2.  При этом  m ≠ d  (в противном случае  b² = m² + d² = 2m²,  что невозможно).
  Искомая тройка  (b – m, b, b + m).  Действительно,  b² – m² = d² > 0,  а  (b – m)b(b + m) = e²(b² – m²) = (de)².  Кроме того,
НОД(b, m²) = НОД(b,  ac) = 1,  откуда  1 = НОД(b, m) = НОД(b, b – m) = НОД(b, b + m).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .