Задача 115361
|
|
 |
Условие
Ненулевые числа a, b, c таковы, что ax² + bx + c > cx при любом x. Докажите, что cx² – bx + a > cx – b при любом x.
Решение
Дискриминант трёхчлена P(x) = ax² + (b – c)x + c отрицателен: D = (b – c)² – 4ac = b² + c² – 2bc – 4ac < 0. Кроме того, c = P(0) > 0. Значит, у трёхчлена Q(x) = cx² – (b + c)x + (a + b) положителен старший коэффициент, а его дискриминант
D' = (b + c)² – 4c(a + b) = b² + c² + 2bc – 4ac – 4bc = D отрицателен. Это значит, что Q(x) > 0 при всех действительных x, что и требовалось.
Замечания
Другое решение можно получить, заметив, что
