Задача 115363

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

Решение

Для натурального числа t тройка чисел 3t, -t, -2t удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, последнего. А чтобы сумма (3t)13 + (-t)13 + (-2t)13 = t13(313 - 1 - 213) являлась точным квадратом, достаточно положить, например, t = 313 - 1 - 213 .
Итак, условию задачи удовлетворяет, например, тройка чисел 3t, -t, -2t , где t = 313 - 1 - 213 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.7