Условие
В треугольнике
ABC угол
A равен
60
o . Пусть
BB1 и
CC1 —
биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка,
симметричная вершине A относительно прямой
B1C1 , лежит на стороне
BC .
Решение
Пусть
I — точка пересечения биссектрис треугольника
ABC . Тогда
B1IC1 = BIC = 180
o - IBC - ICB = 180
0 - (
ABC + ACB)
/ 2
= 180
o - 60
o = 120
o = 180
o - B1AC1 .
Значит, четырёхугольник
AB1IC1 вписан в окружность. Отсюда
AC1B1 = AIB1 = ABI + BAI = (
A + B)
/ 2
(поскольку
AIB1 — внешний в
Δ ABI ), и аналогично
AB1C1 = (
A + C)
/ 2
.
Пусть описанная окружность треугольника
BC1I пересекает прямую
BC в точке
K (легко понять, что эта точка не может
попасть на продолжение стороны
BC ). Тогда
IKC = 180
o - BKI = BC1I = 180
o - AC1I = AB1I = 180
o - IB1C ,
то есть четырёхугольник
IB1CK также вписан. Наконец, поскольку четырёхугольники
AB1IC1 ,
BC1IK
и
CKIB1 вписаны, мы имеем
KC1B1 = KC1I + IC1B1 = KBI + IAB1 = (
B + A)
/ 2
= AC1B1 ,
и аналогично
KB1C1 = KB1I + IB1C1 = (
C + A)
/ 2
= AB1C1 . Значит,
треугольники
AB1C1 и
KB1C1 равны по стороне
B1C1 и двум прилежащим к ней углам. Тогда они симметричны
относительно
B1C1 , а тогда и точки
A и
K также симметричны. Поскольку точка
K лежит на
BC , решение закончено.
Источники и прецеденты использования
|
олимпиада |
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
год |
Год |
2009-2010 |
Этап |
Вариант |
4 |
Класс |
Класс |
9 |
задача |
Номер |
06.4.9.4 |