|
|
 |
Условие
Сколько раз функция f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009 меняет знак на отрезке [0, 2009π/2] ?
Решение
Обозначим n = 2009. Рассмотрим функцию cos π/k. Она меняет знак при x = k(πm + π/2) = k(2m+1)π/2, где m – произвольное целое число. Значит, нулями функции f(x) могут являться только точки xi = πi/2, где 1 ≤ i ≤ n. Тогда менять знак она может лишь в точках xi при i = 1, 2, ..., n – 1.
Функция cos x/k меняет знак в точке xi, если i = k(2m + 1) при целом m. Значит, количество косинусов, которые меняют знак в точке xi, совпадает с количеством нечётных делителей числа i. Поэтому функция f(x) будет менять знак в тех и только тех точках xi, для которых у числа i нечётное количество нечётных делителей. Пусть i = 2lj, где l целое, а j нечётно. Тогда количество нечётных делителей у чисел i и j совпадает. Но у нечётного числа j количество делителей нечётно тогда и только тогда, когда j – точный квадрат (см. задачу 30365).
В итоге получаем, что функция f(x) меняет знак в точке xi, если число i – либо квадрат, либо удвоенный квадрат (в зависимости от чётности числа l). Но среди чисел от 1 до n – 1 есть [] квадратов, и [
] удвоенных квадратов. Значит, количество перемен знака равно
[] + [
] = 44 + 31 = 75.
