Задача 115447

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что если выражение принимает рациональное значение, то и выражение также принимает рациональное значение.

Решение

Пусть =a , где a  — рациональное число.
1) Если a=0 , то x=0 , тогда =0 , то есть рационально.
2) Если a 0 , то x 0 , тогда ==a , откуда x+=-1 .
Следовательно, = = = = .
Заметим, что a , иначе x+=1 , что невозможно ни при каких x . При любых других рациональных значениях а выражение принимает рациональные значения, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2009
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.4